Problema de matematica pt rentabilitate joc de cazino

[sobolanul]

Pentru că am pierdut 4 ore din viaţă cu demonstraţia la această problemă, am să o postez şi aici, poate mai vrea cineva să se distreze puţin.

Eu sunt un cazino. Am o moneda cu o faţă roşie şi una neagră. Vine clientul, îşi alege o culoare şi eu încep să arunc moneda. O arunc până cade faţa aleasă de client. Atunci îl plătesc cu 2^(n-2) unde n este numărul de aruncări.

Exemplu:
Clientul alege roşu. Vine din prima roşu, clientul primeste 2^(1-2) = 0.5.
Clientul alege roşu. Vine din a 4-a incercare roşu (adică primele 3 au fost negre), clientul primeste 2^(4-2) = 4.

Întrebarea este: Este acest joc rentabil pt.cazino (adică pe parcursul a un infinit de aruncări, va fi în câştig)? Dacă da, care este taxa minimă pe care ar trebui sa o perceapă pt un joc pentru a fi rentabil?

[Ciprian]

bine si el cat plateste pentru aruncare ?

ca daca e moca normal ca e rentabil pt client

[sobolanul]

Eu vorbesc din punctul de vedere a caznoului. Şi asta e întrebarea, ce taxă să perceapă caznoul pt a fi rentabil (pt cazino, nu pt client)

[Dioscuri]

pai si cum se joaca? clientul plateste o taxa la inceput, si apoi se roaga sa pice culoarea lui cat mai tarziu? sau plateste la fiecare aruncare de moneda?

[mgandrei]

Taxa nu poate fi fixa pentru ca premiul creste exponential.
Cu o taxa egala cu 2^(n-2), la cea de-a 'n'-a aruncare(daca se ajunge) clientul a investit deja [2^(n-2)-0.5]. Asadar daca castiga de aceasta data iese in profit cu 0.5. Ca sa compenseze, cazinoul poate sa ii ceara 0.6 la inceput si apoi sa il puna sa plateasca exact cat ar fi posibilul castig. Indiferent de pasul la care castiga clientul aruncarea cazinoul se alege cu 0.1.

Ca sa nu ii ceara nimic la inceput ar putea sa-l puna sa plateasca 2^(n-2)+0.6 pentru fiecare aruncare,dar asa profitul cazinoului va diferi in functie de n.

[sobolanul]

pai si cum se joaca? clientul plateste o taxa la inceput, si apoi se roaga sa pice culoarea lui cat mai tarziu? sau plateste la fiecare aruncare de moneda?

Da, clientul plăteşte o taxă la început şi aruncă moneda până cade culoarea lui. Cu cât pică mai târziu, cu atât câştigă mai mult pentru aceaşi taxă fixă.

Taxa nu poate fi fixa pentru ca premiul creste exponential.
Cu o taxa egala cu 2^(n-2), la cea de-a 'n'-a aruncare(daca se ajunge) clientul a investit deja [2^(n-2)-0.5]. Asadar daca castiga de aceasta data iese in profit cu 0.5. Ca sa compenseze, cazinoul poate sa ii ceara 0.6 la inceput si apoi sa il puna sa plateasca exact cat ar fi posibilul castig. Indiferent de pasul la care castiga clientul aruncarea cazinoul se alege cu 0.1.

Ca sa nu ii ceara nimic la inceput ar putea sa-l puna sa plateasca 2^(n-2)+0.6 pentru fiecare aruncare,dar asa profitul cazinoului va diferi in functie de n.

Nu se poate să fie taxă variabilă. Tu ai mai juca ruletă dacă ti-ar zice numai după ce ai câştigat cât a costat de fapt să participi la joc?

Şi gândeşte-te la un exemplu:
taxa = 8. Înseamnă că clientul are 50% sanse sa piarda 7.5, 25% şanse să piardă 7 (când îi iese la a doua încercare), 12.5% şanse să piardă 6, .... 3.125% şanse să fie pe 0 (dacă iese la a 5 aruncare şi ~1.5% şanse să câstige 8, 0.75% să câştige 16 şi tot aşa. Şansele scad pe măsură ce suma creşte şi e posibil ca să fie destui bani strânsi pt cazino să poată plăti un câstig mare din restul aruncărilor ratate. Mă interesează care ar fi taxa minimă de participare pt a acoperi aceste pierderi.

[nowonda]

mie mi-a dat nu, i.e. nu poate fi un joc castigator pt cazino in cazul in care taxa e fixa si se plateste o sg data, la inceput. ma rog, e vb de matematica si-atat, care zice ca se paote intampla sa pice pajura de 100000 de ori la rand cu o anumita probabilitate.

o suma de EV-uri pt client tb sa fie negativa pe termen lung (i.e. infinit), EV-urile partiale fiind de forma (1/2^n)*[2^(n-2) - t], t fiind taxa fixa si platita o sg data la inceput. Pe intervale bine definite (de ex daca se stabileste un maxim de 100 de aruncari) se poate calcula o taxa initiala a.i. EV-ul total sa fie negativ, dar la infinit nu, adica nu e ca ruleta. De ex daca sa stabileste un nr de maxim 10 aruncari atunci taxa ar tb sa fie putin peste 2.5 unitati de pariere (presupunand ca se incepe de la 1), pt 100 de aruncari taxa ar tb sa fie putin peste 25 de unitati. La general taxa tb sa fie putin peste n/4 unitati la un nr maxim de n aruncari pt ca jocul sa fie castigator pt cazino.

m

[mgandrei]

Daca nu e taxa variabila e imposibil sa iasa cazinoul in castig pe termen lung...alege un numar cat de mare ca taxa si tot vei gasi un n astfel incat 2^(n-2)>n*nr ales ca taxa(asta pe principiul ca plateste taxa la fiecare incercare). Doar daca se stabileste o limita pt n cum zice nowonda poti determina o taxa fixa. Dar cum tu zici ca se poate ajunge la un infinit de incercari pica varianta unei astfel de taxe.

Cat despre taxa variabila, nu cred ca ai inteles ce am zis eu.Da omul nostru 0.6 la inceput. Apoi :
Pasul 1: taxa =0.5 | daca castiga are 0.5-0.6=-0.1 | daca pierde are -0.5-0.6=-1.1
Pasul 2: taxa =1 | daca castiga are -1.1(pasul anterior) +1 =-0.1 | daca pierde are -1.1(pasul anterior)-1=-2.1
Pasul 3: taxa =2 daca castiga are -2.1(pasul anterior)+2=-0.1 | daca pierde are -2.1(pasul anterior)-2=-4.1

and so on......cand castiga o sa aiba tot timpul -0.1(profitul fix al cazinoului) si cand pierde o sa aiba o pierdere totala(in modul) exact cu 0.1 mai mare decat taxa pentru nivelul urmator(-8.1,-16.1,-32.1 etc)

[obs]

Stiu ca e antimatematic si ilogic, dar pe mine ma bate gandul ca natura respecta o limita superioara critica a numarului de ocurente consecutive ale unui eveniment. Pur si simplu refuz sa cred ca aruncand o moneda de la inceputul universului si pana in vecii vecilor vecilor vecilor, aceasta o sa poata cadea vreodata de 100.000 de ori consecutiv cu pajura in sus. Evident, asta pb ca pleaca din incapacitatea mea de a intelege ce stihii uriase sunt de fapt numerele mari. Dar cine POATE accepta asa ceva, sa mearga mai departe, sa vedem pana unde ii rezista mintea: poate sa iasa la ruleta de un googolplex de ori cifra 13?
Spun asta pentru ca teoretic, daca ar exista limita asta superioara critica, s-ar putea calcula exact taxa de care e vorba.

Apropos, intrebare pentru cine s-a jucat cu asa ceva: care e numarul maxim de evenim. aleatorii pe care ni-l poate genera vreun RNG de pe net? Daca poate fi semnificativ de mare, chiar sunt curios care e cea mai lunga aparitie consecutiva a unui eveniment binar. Sau, se pot genera si pune cap la cap mai multe siruri... dar aici e nevoie de un sclav.

[Mentosan]

Obs te scot din ignore caci esti simpatic in multe feluri. O spun in mod serios si fara a fi condescendent. Adica am o ramura de maslin in mina.

Cred ca problema ta in cazul de fata este ca nu intelegi bine ce inseamna infinitul. Si nu e nimic rusinos in asta. Este un concept foarte abstract si intr-un fel artificial. Nici Newton nu-l intelegea, nici grecii antici, nici 90$ dintre oamenii moderni. Nici eu nu il inteleg la fel de bine ca altii, dar mult, mult mai bine ca Newton.
In plus, infinitul nu este "natural". Nu exista nici un corespondent in natura. Deci e oarecum normal sa te bata gindul ca natura respecta o limita superioara.
Comparat cu infinitul, 10 la puterea un catralion e la fel de mare ca 10 la puterea minus un catralion; ie orice numar "impartit" la infinit face zero.
Infinitul nu e stihie e dincolo de asta. Si nu ni-l putem imagina, dupa cum nu ne putem imagina nici macar 4 dimensiuni, desi matematica moderna are de a face cu dimensiuni mult mai mari, chiar infinite.
Ca distractie si ca sa experimentezi limitele imaginatiei cauta cu google (sau wikipedia) "Klein's bottle".

[nowonda]

Apropos, intrebare pentru cine s-a jucat cu asa ceva: care e numarul maxim de evenim. aleatorii pe care ni-l poate genera vreun RNG de pe net? Daca poate fi semnificativ de mare, chiar sunt curios care e cea mai lunga aparitie consecutiva a unui eveniment binar. Sau, se pot genera si pune cap la cap mai multe siruri... dar aici e nevoie de un sclav.

pe random.org nr maxim e 10k. M-am jucat si-am generat 1 mil jumate de aruncari de moneda (cate 10k pe care le-am inlantuit dupa asta in excel). Cea mai mare secv a fost una de 21 de repetari, urmatoarea a fost tot una singura de 20, apoi 4 de 19, 4 de 18 , 13 de 17, 23 de 16, 42 de 15. Daca-ti aduci aminte de discutia aia din topicul cu ruleta, se respecta regula aia cu evenimentele de rang inferior se intampla tot de atatea ori ca suma tuturor evenimentelor de rang superior: 42~=23+13+4+4+1+1, 23~=13+4+4+1+1, 13~=4+4+1+1, de-aci incolo eroroarea e mare pt ca numarul de aruncari e mic pt a verifica relatia pt secvente de rang mai mare. Asta ar tb sa fie un indiciu clar ca daca generezi numere si mai multe atunci, relatia respectandu-se si la secvente mai mari, o sa si gasim acele secvente mai mari. Singura cerinta e sa se genereze destul de multe numere, pt ca asa cum daca generezi doar 1000 de numere n-o sa poti verifica relatia de mai sus pt secv de rang 20 tot asa cu 1 mil jumate de numere nu poti verifica relatia pt secvente de rang sa zicem 50, dar asta nu inseamna ca ele sunt imposibile ci doar improbabile pt un sample de 1 mil jumate de numere.

m

[touche]

...nici 90$ dintre oamenii moderni.

Asta explica totul .... mentosan vede dolarei pe peste tot.