Problema anului 2006 (de logica)

[mache1982]

pai si ce e greu sa calculezi produsul si suma dintre 2 numere?crede-am ca m-am gandit.nu zic ca e buna solutia dar alta posibilitate nu vad acum.

[maradona13]

Clar ca nu are cum sa fie 2 si 8.
Daca suma era 10 Sandu nu putea sa zica sigur ca Petre nu stie rezultatul deoarece petre ar fi putut avea 25 caz in care ar sti numerele. oricum Suma e clar ca nu poate fi para deoarece orice numar par poate fi scris ca un produs de 2 numere prime.
Initial am crezut ca e 2 si 9 dar pentru suma 11 mai multe solutii: 3 si 8; 4 si 7
Daca Sandu vede S=11 zice ca Petre nu poate sa-si dea seama de numere deoarece el poate avea ca produs 18,24,28,30 si niciunul nu poate fi descompus in doar 2 numere prime. Petre daca are produsul 18 isi da seama ca S nu poate sa fie 9=6+3 pentru ca 9=3*3 si daca ar fi avut 9 Sandu nu ar fi facut afirmatia ca Petre nu poate afla numerele, deci numerele sunt 2 si 9. La fel daca Petre are P=24 nr sunt 3 si 8. Dar daca Petre poate afla numerele, Sandu nu poate, avand suma 11 nu poate alege dintre 2 si 9 sau 3 si 8 sau 4 si 7 deci nu asta e solutia din moment ce Sandu a gasit numerele.
Suma trebuie sa fie un nr care sa nu fie o suma de 2 nr prime.
Deci S poate sa fie 11,17,23...
Pentru Suma 17 avem posibilele produse: 52(4*13),60(20*3),66(6*11) 70(7*10). Daca ar fi 60 Petre nu si-ar da seama de numere deoarece si 20*3=60 si 20+3=23 este o suma posibila ea neputand fi descompusa in 2 numere prime. La fel si 66=2*33; 33+2=35 nu poate fi formata din insumarea a 2 numere prime. 52=2*26, 26+2=28=23+5. Deci S=17 si P=52, numerele 4 si 13. Acum mai trebuie aratat ca asta e singura solutie.

[touche]

Plecand de pa premisa ca profesorul le-a dat cele 2 numere in asha fel incat cei doi sa le gaseasca ...
Pentru mine e clar si indubitabil ca numerele sunt 4 si 5
Folosind acelashi rationament ca Bianca Milatinovici e evident ca suma trebuie sa fie >8, iar primul nr. e 9


4+5 = 9
4*5 =20

Si asta pentru ca nu vad de ce a sarit de la 8 la 10.
Pentru ca e evident ca e 9.

[maradona13]

Este evident ca nu are cum sa fie 4 si 5
Daca S=9 atunci Sandu nu poate sa fie sigur ca Petre nu gaseste numerele. El ar putea sa aive produsul 14 adica numerele 2 si 7. Este clar ca S trebuie sa fie un numar care nu poate fi obtinut din insumarea a 2 numere prime.

[touche]

pai nu.
Am S= 9
si variantele (2-7;3-6;4-5)

[maradona13]

Deci daca ai si varianta 2 si 7 e clar ca nu poti sa spui ca celalalt nu poate sa-si dea seama de numere din produsul pe care-l are. Poate are 14 si tu nu ai de unde sa stii si nu poti spune ca nu se pot afla numerele. Deci daca S=9 Sandu nu ar mai fi facut afirmatia:"Petre nu poate afla numerele"

[touche]

Mdap ...am inteles.
Interesant.

[Retardatu']

Iata ce zic eu:

Fie S suma lui Sandu. Fie P produsul lui Petre.
Practic ni-se dau 3 informatii:
Informatia ca Petre nu poate determina suma lui Sandu (confirmata de profesor). Singurul caz in care Petre ar putea determina S este acela in care P este produs de doua prime. Sandu este sigur ca Petre nu poate determina suma sa , deci S nu se poate scrie ca suma de doua prime.
Fie Lista 1 lista cu toate numerele naturale >=4 care nu pot fi scrise ca suma de doua prime.(aceasta lista este infinita.)
Asadar cele 3 informatii sunt:
1)S apartine Listei 1
2)Stiind P si stiind ca S apartine Listei 1 se pot calcula numerele. (petre afla…)
3)Stiind S si stiind informatia 2) se pot calcula numerele. (sandu afla…)
Lista 1 intersectat cu numerele <100 este:
11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97
Explicatia este mai simpla cu un exemplu: Suma S=17.
17 apartine listei 1. Intr-adevar 17=2+5*3=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10+8+9.
Ma voi folosi de informatia 3)
17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10+8+9.
Deci P este in multimea {30,42,52,60,66,70,72}.
Daca P este 30, atunci rationamentul lui Petre este:
30=2*15=3*10=5*6. Deci S este in multimea {17,13,11}. Dar S este in Lista 1 deci S poate fi 17 sau 11. Petre nu mai are alte informatii , deci nu poate afla S. Prin urmare produsul nu este 30.
Daca P este 42=2*21=3*14=6*7. Deci S este in {23,17,11} Intersectez cu Lista 1 si tot nu obtin un singur numar deci P nu poate fi 42.
Daca P este 52=2*26=4*13, S poate fi {28,17}. Intersectez cu Lista 1 si obtin 17, deci P poate fi 52.
Daca P este 60, S apartine {32,23,17,19,16}, deci P nu poate fi 60.
Daca P este 66 , S apartine {35,25,17} deci P nu poate fi 66.
Daca P este 70, S apartine {37,19,17} deci P nu poate fi 70.
Daca P este 72, S apartine {38,27,22,18,17} deci P nu poate fi 72.
Asadar Sandu a aflat P , si avand S afla numerele.
Daca la calculul anterior Sandu obtinea mai multe posibilitati pentru P , atunci nu putea determina P , deci alegerea lui S nu era buna.
Deci S=17, P=52 este o solutie.
Din pacate nu este unica . Am folosit un program de calculator si am ca , solutiile cu S<=141 sunt : S=65(P=244), S=89(P=1168),S=127(P=1776),S=137(P=4672)
Nu am putut gasi solutiile cu S>141.